カイ2乗分布 χ²(k)
kobo-ideas 018 POC — 自由度 k を変えて形の変化を体感する
操作パネル
4
自由度 k
4
平均
4
分散
8
最頻値
2
χ²(k) 密度
平均 = k
最頻値 = max(k−2, 0)
カイ2乗分布（χ² 分布）は、独立した標準正規変量を k 個二乗して足し合わせた分布です。
非負の値のみをとり、自由度が小さいと右に強く歪んだ形をとります。
自由度 k を増やすと分布が右にシフトし、中心極限定理により正規分布に近づいていく様子が確認できます。
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ここがポイント
- 標準正規の二乗和: Z₁, Z₂, …, Zk が独立な標準正規のとき、Z₁² + Z₂² + … + Zk² ～ χ²(k)。
- 非負・右に歪む: 値は 0 以上。k が小さいほど右に歪み（右裾が長い）、k が大きくなるほど正規分布に近づく。
- 平均 = 自由度: 平均は k そのもの、分散は 2k。最頻値は max(k−2, 0)。
- 適合度・独立性の検定: 適合度検定（観測度数 vs 期待度数）や分割表の独立性検定の検定統計量がカイ2乗分布に従う。