複素数平面と回転
数III/C — 複素数の掛け算は「絶対値の積・偏角の和」＝回転＋拡大
z の設定（青い矢印）
2.0
30°
掛け算の設定（回転角）
90°
計算結果
z (青)
—
—
z′ (赤)
—
—
|z| = |z′| — 回転で大きさは変わらない
z
z′ = z × eiα
回転角α
単位円
複素数の掛け算 = 回転 + 拡大。複素数 z に複素数 w を掛けると、結果は
絶対値どうしの積・偏角どうしの和になります。
w の絶対値が 1（単位複素数）ならば大きさは変わらず、純粋な回転だけが起きます。
i を掛けることは、偏角を 90° 増やす操作 — つまり反時計回り 90° 回転そのものです。
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ここがポイント
- 掛け算 = 回転＋拡大：z × w の絶対値は |z|×|w|、偏角は arg(z)+arg(w)
- 偏角は足し算：どんな複素数を掛けても偏角は arg(w) だけ増える
- × i は 90° 回転：i = cos90°+ i sin90°、なので掛けると反時計回りに 90° 回る
- 単位複素数（絶対値=1）を掛けると大きさは変わらず回転だけ