黄金比φとフィボナッチ螺旋

幾何 / 数列 — フィボナッチ数列が織りなす螺旋と黄金比の収束

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正方形の数 n 7

フィボナッチ数列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

直近の比 F(n)/F(n−1)

—

黄金比 φ

1.61803…

差 |比 − φ|

—

フィボナッチ数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …）は前2項の和で定義される数列です。各正方形の一辺をフィボナッチ数にとると、ぴったり渦巻き状に敷き詰められます。隣り合う正方形に内接する四分円をつないでいくと 黄金螺旋 が現れます。そして隣接する2項の比 F(n+1)/F(n) は n が大きくなるほど 黄金比 φ ≈ 1.618 に収束します。

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ここがポイント

フィボナッチ数列の定義: F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n−1)+F(n−2)（前2項の和）
隣接する2項の比 F(n+1)/F(n) は n → ∞ のとき黄金比 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803 に収束する
黄金比の性質: φ² = φ + 1（φ自身が自分の逆数に1を足したもの）
正方形を渦巻き状に積み上げると自動的に黄金矩形（縦横比=φ）が作られる
ひまわりの種の配列・オウムガイの殻・植物の葉序など自然界に広く現れる