正多面体とオイラーの多面体定理
V − E + F = 2 ｜ 幾何 / 3D 可視化
正多面体を選ぶ
頂点 V
4
辺 E
6
面 F
4
V − E + F
2
4 − 6 + 4 = 2 ✓
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正四面体
オイラーの多面体定理とは、凸多面体の頂点数 V・辺数 E・面数 F の間に V − E + F = 2 という関係が常に成り立つという定理です。
これは 18 世紀にレオンハルト・オイラーが発見した位相幾何学（トポロジー）の基本定理で、
特定の寸法や角度ではなく「つながり方」だけで決まる不変量です。
上のビューで 5 種の正多面体を切り替えながら、どれでも必ず 2 になることを確かめてください。
いま何が起きている？
選択中の正四面体は頂点 V=4、辺 E=6、面 F=4 を持ちます。
代入すると
代入すると
4 − 6 + 4 = 2 となり、オイラーの定理が成り立っています。
ここがポイント
- 凸多面体ならすべてで V − E + F = 2。形・大きさ・素材に関係なく成立するトポロジーの不変量。
- 正多面体（プラトン立体）は 5 種類だけ。正四面体・立方体・正八面体・正十二面体・正二十面体。それ以外の正多面体は存在しない（角数の組み合わせが有限に限られるため）。
- 穴があると成り立たない。ドーナツ形（トーラス）では V − E + F = 0 になる。穴が増えるほど値は減る（オイラー標数）。